Si estuviera cerca suyo, le pediría que me concediera un par de minutos para que yo le plantee un problema. Como verá inmediatamente, es muy sencillo de enunciar. Léalo con tranquilidad y antes de avanzar quiero hacerle algunos comentarios.

Fíjese en el tablero de ajedrez que aparece en la Figura 1. No se preocupe: no hace falta saber nada de ajedrez propiamente dicho, salvo que se juega en un tablero cuadrado de 8 x 8 (64 casillas en total), alternando casillas blancas con negras. El juego tiene diferentes piezas, pero yo quiero hacer hincapié en una en particular: el alfil. La característica que distingue a los alfiles del resto de las piezas, es que se mueven únicamente en diagonal: cada jugador tiene uno que recorre las diagonales de casillas blancas y el otro las diagonales de casillas negras. Por último, si hay una pieza cualquiera que está en el camino de un alfil, como si le estuviera obstruyendo el camino, si es su turno, si usted quiere puede sacarla del juego o comerla (como se dice en la jerga ajedrecística). Por supuesto, un alfil puede ocupar algún lugar del tablero que le permita moverse en dos diagonales diferentes (a lo sumo dos, y como mínimo una, si está en alguno de los cuatro vértices del tablero). Por esta misma razón puede que en el camino de un alfil haya hasta cuatro piezas ubicadas en cada una de estas diagonales (me refiero a la primera en cada caso) ¿Por qué cuatro? Porque si el alfil ocupa una casilla que no sea uno de los vértices, puede ir en diagonal hacia la izquierda o derecha, y hacia arriba o hacia abajo. En el camino entonces puede tropezarse a lo sumo con cuatro piezas. Cuando eso sucede se dice que su alfil la está atacando. Y eso es todo lo que hace falta saber.

Ahora sí, el problema.

Yo traigo un tablero de ajedrez y al mismo tiempo le entrego 25 alfiles. Sí, veinticinco. Por supuesto, como escribí más arriba, en una partida convencional cada participante tiene dos alfiles, o sea, en total cuatro. Pero hagamos de cuenta que yo le entrego 25. Quiero proponerle una suerte de juego mental. Mi propuesta es ésta: usted tome estos 25 alfiles y distribúyalos en el tablero como quiera. Mi desafío consiste en lo siguiente: haga usted lo que haga con ellos SEGURO que SIEMPRE hay CUATRO que NO se atacan entre sí.

Por ejemplo, está claro que si dos alfiles están en una misma fila (o la misma columna) no se están atacando. Dicho de otra forma: lo que le estoy proponiendo es que si usted quiere encontrar una manera de desplegar los 25 alfiles en el tablero en donde A LO SUMO haya TRES que no se ataquen entre sí … ¡NO VA A PODER! La pregunta es: ¿por qué sucede esto?

Como ve, el planteo es muy sencillo. Eso sí: necesitará un papel y algo con qué escribir, o bien un tablero de ajedrez y usar botones (o algo equivalente) que jueguen el papel de los alfiles. Ahora, intente hacerlo y verá que no se puede.

Yo voy a proponerle una forma de convencerse pero estoy seguro que debe haber otras y si usted tiene una propia … ¡muchísimo mejor! Ese es el objetivo de escribir estas líneas: disparar su curiosidad.

Algunas ideas

Voy a suponer que usted hizo al menos algún intento aunque más no sea para intentar descubrir en dónde reside la dificultad ¿Qué gracia tiene si usted lee el problema e inmediatamente la solución? Por otro lado, intentar por la fuerza bruta, o sea, tratar de escribir todas las posibles distribuciones, le llevará tanto tiempo que es muy posible que abandone pronto para poder dedicarse a vivir: el tiempo de vida es finito, al menos por ahora.

Con todo, supongamos que usted me quiere desafiar y mostrar que yo estoy equivocado. Que usted encontrará esa distribución de los alfiles que tendrá cuatro que no se atacan.

Como escribí más arriba, fíjese que si dos alfiles están en una misma columna, no se atacan. Y no se atacan porque si están en una misma columna, no pueden estar en una misma diagonal ¿Qué se deduce de esto? (¿quiere pensar usted?). Esto le sirve para inferir que NO PUEDE PONER MAS DE TRES ALFILES por columna. Si pusiera cuatro (o más), yo voy a tener razón y usted no quiere que eso suceda ¿Me siguió hasta acá? Le pido que no avance si la/lo perdí en el camino. Si no, relea lo anterior hasta sentirse cómoda/o con los argumentos que escribí.

Al llegar acá hagamos una cosa. Voy a hacer un ligero cambio. Supongamos que en lugar de 25 alfiles yo le había dado 24 (uno menos). Si hubiera un alfil menos entonces SÍ los puede distribuir sin que haya cuatro que se ataquen. Basta con poner tres en cada columna, y como hay ocho columnas … ¡listo! 8 x 3 = 24.

Pero en el problema original, la dificultad surge en que hay 25 y no 24. Usted detecta que haga la distribución que haga, a lo sumo habrá tres alfiles por columna … y no más. Al hacerlo, usted repartió 24 de los 25 alfiles, pero … ¿qué hacer con el último que le falta apoyar? No le queda más alternativa que ubicarlo en algún lugar vacío en el tablero, pero ESE particular lugar, formará parte de ALGUNA columna, y ESA columna … ¡ya tiene tres alfiles! Cuando ubique ese último alfil … ¡listo! Esa columna tendrá cuatro alfiles que no se atacan. ¡Y listo! Esos cuatro no se ven y por lo tanto, no se atacan entre sí.

Por otro lado, esto último termina la demostración. No hizo falta probar con TODAS LAS POSIBLES DISTRIBUCIONES. Alcanzó con pensar un modelo que sirviera para todos los posibles casos.

Moraleja

Aunque no lo parezca, este tipo de argumentos son muy comunes en matemática. Fabricarse un modelo que demuestre todos los casos de distribuciones posibles y determinar que no se va a poder. Este modelo particular fue el que permitió imaginar cuál sería el peor de los casos, intentando poner -a lo sumo- tres alfiles por columna, que seguro que no se atacan entre sí. Todo esto está bien, pero eso ocupa a 24 de los 25 alfiles. El último es el que arruina todo. Si uno quisiera apelar a la fuerza bruta intentando con todas las posibles distribuciones pasaría muchísimo tiempo y es poco probable que alcance a probar con todas, aunque más no sea porque uno querría poder vivir además de distribuir alfiles en un tablero.

Este tipo de argumentación muestra cómo se puede probar alguna afirmación en forma general, sin tener que hacer una lista exhaustiva de todos los casos posibles. Quizás esta forma de abordar un problema sea novedosa para usted, lo cual tiene IMPORTANCIA NULA, pero lo que SÍ me importa es exhibir la potencia de este tipo de razonamientos y el valor que usted los pueda incorporar a su caja de herramientas intelectuales.

[1]Yo elegí ‘columnas’, pero el mismo argumento se puede usar cambiando ‘columnas’ por ‘filas’.

[2]Este problema me lo sugirió mi amigo Juan Sabia, matemático, escritor, poeta, divulgador, creativo. Una de las mejores personas que tiene el país. El crédito de todo lo que está escrito más arriba le corresponde a él. Los errores son míos.